Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 chứng tỏ rằng p2-1 chia hết cho 24

* Hướng dẫn giải

Ta có 24 = 3.8 và p²-1=p²+p-p-1=p(p+1)-(p+1)=(p+1)(p-1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 p có hai dạng: p =3k+1 hoặc p=3k+2, (k∈N^*).

Nếu p = 3k +1 ta có: p-1=3k+1-1=3k⋮3 => p²-1⋮3

Nếu p =3k+2 ta có : p+1 = 3k+2+1=3(k+1)⋮3 => p²-1⋮3

Vậy p²-1⋮3 .

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ p=2k+1 (kϵN, k>1).

Ta có : p²-1=(p+1)(p-1)=(2k+1+1)(2k+1-1)=4(k+1)k

Mà k và k+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2

=> (k+1)k⋮2 4(k+1)k⋮8 p²-1⋮8 mặt khác (3,8)=1

=> p²-1⋮(8 .3) hay p²-1⋮24 (điều phải chứng minh)