Tìm số tự nhiên n sao cho 7n+13 và 2n+4 là số nguyên tố cùng nhau

* Hướng dẫn giải

Vì 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau nên ta gọi d = UCLN(7n+13,2n+4)

=>7n+13$⋮$d và 2n+4$⋮$d

Có 7n+13$⋮$d => 2(7n+13)$⋮$d => 14n+26$⋮$d

2n+4$⋮$d => 7.(2n+14)$⋮$d => 14n+28$⋮$d

Suy ra (14n+28) – (14n+26)$⋮$d => 2$⋮$d => d$\in${1;2}

Nếu d = 1 thì 7n+13 và 2n+4 là nguyên tố cùng nhau

Nếu d = 2 => 7n+13$⋮$2 => 7.(n+1)+6$⋮$2 vì 6$⋮$2 nên 7.(n+1)$⋮$2 mà UC(7,2) = 1 => n+1$⋮$2

Để n+1$⋮$2 thì n = 2k+1

Vậy để 7n+13 và 2n+4 là số nguyên tố cùng nhau thì n ≠ 2k+1