Chứng minh rằng: Trong 5 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng tồn tại 3 số

* Hướng dẫn giải

Ta có, một số a khi chia cho 3, số dư chỉ có thể là 0, 1, hoặc 2.

Theo nguyên lí Dirichle, trong 5 số tự nhiên bất kì khi chia cho 3, tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư.

Khi đó có các trường hợp sau:

TH1: Trong 5 số có từ 3 số trở lên có cùng số dư.

Gọi 3 dố trong các số đó là x, y, z khi chia cho 3 có cùng số dự thì $x+y+z⋮3$

TH2: Trong 5 số đó chỉ có 2 số có cùng số dư. Khi đó số dư chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

$\left\{0;0;1;1;2\right\};\left\{0;1;1;2;2\right\};\left\{0;0;1;2;2\right\}$

Trong cả 3 trường hợp luôn tồn tại 3 số tự nhiên x, y, z khi chia cho 3 có các số dư khác nhau lần lượt là: 1; 2; 0 nên $x+y+z⋮3$

Vậy trong 5 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.