Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích là V. Gọi M,N,P là trung điểm

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta dựng được thiết diện là ngũ giác MNQPR

Đặt $d\left(B;\left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}\right)\right)=h,A\text{'}B\text{'}=a,d\left(C;A\text{'}B\text{'}\right)=2b.$

Khi đó ta có thể tích lăng trụ $V=\frac{1}{2}.d\left(C\text{'};A\text{'}B\text{'}\right).A\text{'}B\text{'}.d\left[B;\left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}\right)\right]=\frac{1}{2}.2b.a.h=abh.$

Xét hình chóp L.JPB' có:

$\frac{LN}{LJ}=\frac{LB}{LB\text{'}}=\frac{NB}{JB\text{'}}=\frac{1}{3}$ suy ra $d\left[L;\left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}\right)\right]=\frac{3}{2}d\left[B;\left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}\right)\right]=\frac{3}{2}h,JB\text{'}=\frac{3}{2}A\text{'}B\text{'}=\frac{3}{2}a,$ $d\left(P;A\text{'}B\text{'}\right)=\frac{1}{2}d\left(C\text{'};A\text{'}B\text{'}\right)=b.$

Suy ra thể tích khối chóp L.JPB' là $V_{LJPB\text{'}}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}h.\frac{1}{2}.\frac{3}{2}a.b=\frac{3}{8}abh=\frac{3}{8}V.$

Mặt khác ta có: $\frac{V_{L.NBQ}}{V_{L.JPB\text{'}}}=\frac{LN}{LJ}.\frac{LB}{LB\text{'}}.\frac{LQ}{LP}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{27}\Rightarrow V_{LNBQ}=\frac{1}{27}{V}_{LJPB\text{'}}=\frac{1}{27}.\frac{3}{8}V=\frac{1}{72}V$

$\frac{V_{J.RA\text{'}M}}{V_{LJPB\text{'}}}=\frac{JM}{JL}.\frac{JA\text{'}}{JB\text{'}}.\frac{JR}{JP}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{18}\Rightarrow V_{L.NBQ}=\frac{1}{18}{V}_{L.JPB\text{'}}=\frac{1}{18}.\frac{3}{8}V=\frac{1}{48}V.$

Suy ra thể tích khối đa diện $V_{NQBB\text{'}PRA\text{'}}=V_{LJPB\text{'}}-V_{L.NBQ}-V_{J.A\text{'}RM}=\frac{3}{8}V-\frac{1}{72}V-\frac{1}{48}V=\frac{49}{144}V.$