Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi M,M' lần lượt là trung điểm của BC, B'C'

Gọi N,E lần lượt là trung điểm của AB, BN

Góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A') và (A'B'C') bằng góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A') và (ABC)

Vì $CN\perp AB$ và ME//CN nên $ME\perp AB\left(1\right)$

Mặt khác $A\text{'}M\perp \left(ABC\right)\Rightarrow A\text{'}M\perp AB\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có

$$\begin{gathered} AB\perp \left(A\text{'}EM\right)\Rightarrow \widehat{\left(\left(ABB\text{'}A\text{'}\right);\left(ABC\right)\right)}=\widehat{A\text{'}EM}={60}^0. \\ CN=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2};ME=\frac{1}{2}CN=\frac{a\sqrt{3}}{4}. \end{gathered}$$

Trong tam giác vuông A'EM có $A\text{'}M=ME.\tan {60}^0=\frac{3a}{4}.$

Có $A\text{'}M\text{'}\perp B\text{'}C\text{'}\left(3\right)$

$A\text{'}M\perp \left(ABC\right)\Rightarrow A\text{'}M\perp \left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}\right)\Rightarrow A\text{'}M\perp B\text{'}C\text{'}\left(4\right)$

Từ (3) và (4) suy ra $B\text{'}C\text{'}\perp \left(AMM\text{'}A\text{'}\right).$

Trong mặt phẳng (AMM'A') từ M' kẻ $M\text{'}K\perp AA\text{'}\Rightarrow M\text{'}K$ chính là đoạn vuông góc chung giữa AA' và B'C'

Trong mặt phẳng (AMM'A') từ M kẻ $MI\perp AA\text{'}\Rightarrow MI=M\text{'}K.$

Trong tam giác A'M'A vuông tại M có $\frac{1}{M{I}^2}=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{MA{\text{'}}^2}=\frac{28}{9a^2}\Rightarrow MI=\frac{3a\sqrt{7}}{14}.$

Vậy $d=\frac{3a\sqrt{7}}{14}.$