Biết điểm M(0;4) là điểm cực đại của đồ thị hàm số

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+b$

Điều kiện cần để điểm M(0;4) là điểm cực đại của hàm số f(x) là:

$\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=0\\ f\left(0\right)=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=0\\ a^2=4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=0\end{array}\right.\end{array}\right.$

Điều kiện đủ.

Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}\right.$ ta có $f\left(x\right)=x^3+2x^2+4,f\text{'}\left(x\right)=3x^2+4x,f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Bảng xét dấu f'(x)

Nên M(0;4) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (loại).

Vậy $f\left(x\right)=x^3-2x^2+4\Rightarrow f\left(3\right)=13.$