Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Theo đề bài $f\left(2\right)+f\left(6\right)=2f\left(3\right)\iff f\left(2\right)-f\left(3\right)=f\left(3\right)-f\left(6\right).$

Do $f\left(2\right)<f\left(3\right)\Rightarrow f\left(3\right)-f\left(6\right)<0\iff f\left(3\right)<f\left(6\right).$

Do $X=x^2+1\ge 1.$

Ta có bảng biến thiên

Ta có $f\left(x^2+1\right)=f\left(3\right)\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2+1=3\\ x^2+1=b\left(4<b<6\right)\left(2\right)\end{array}\right..$

Xét đồ thị hàm số $y=x^2+1\left(P\right).$

Dựa vào đồ thị (P) suy ra:

+ Phương trình $x^2+1=a$ vô nghiệm.

+ Phương trình $x^2+1=3$ có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình $x^2+1=b$ có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình $f\left(x^2+1\right)=f\left(3\right)$ có 4 nghiệm phân biệt.