tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y=cosx+1/10cosx+m

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

* Đặt $t=\cos x\left(0<t<1\right)\Rightarrow y=\frac{t+1}{10t+m}\Rightarrow y\text{'}=\frac{m-10}{\left(10t+m^2\right)}t;$

* Hàm số $y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff y\text{'}=\frac{m-10}{{\left(10t+m\right)}^2}t\text{'}>0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right).$ Vì trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số t=cosx nghịch biến nên $t\text{'}<0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

* Từ đó suy ra: $\left\{\begin{array}{l}m-10<0\\ -\frac{m}{10}\notin \left(0;1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<10\\ \left[\begin{array}{l}m\le -10\\ m\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\le -10\\ 0\le m<10\end{array}\right..$

m nguyên dương nên $m\in \left\{1,2,...,9\right\}.$