Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C')

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi H, H' lần lượt là trung điểm của BC, B'C'

Do lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a nên $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $S_{\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Ta có: $\left(\left(AB\text{'}C\text{'}\right),\left(ABC\right)\right)=\left(AH,AH\text{'}\right)=\angle H\text{'}AH={60}^0.$

Xét tam giác H'HA vuông tại H có $\tan {60}^0=\frac{H\text{'}H}{AH}\iff H\text{'}H=AH.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3}{2}a$

Mà A'A=H'H nên $A\text{'}A=\frac{3}{2}a.$

Vậy $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=A\text{'}A.S_{\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{3}{2}a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{8}{a}^3.$