Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC=2a

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B. Gọi BA=BC=b

Áp dụng định lí Pitago vào trong tam giác vuông ABC ta có $\sqrt{B{A}^2+B{C}^2}=AC\iff b\sqrt{2}=2a\iff b=a\sqrt{2}.$

Diện tích đáy là $S_{ABC}=\frac{1}{2}BA.BC=\frac{1}{2}{b}^2=\frac{1}{2}{\left(a\sqrt{2}\right)}^2=a^2.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(A\text{'}BC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ BC\perp \left(AA\text{'}B\right)\\ \left(AA\text{'}B\right)\cap \left(ABC\right)=AB\\ \left(AA\text{'}B\right)\cap \left(A\text{'}BC\right)=A\text{'}B\end{array}\right..$ Do đó góc giữa (A'BC) và đáy (ABC) bằng góc giữa AB và A'B và bằng góc $\widehat{ABA\text{'}},$ theo giả thiết, ta có $\widehat{ABA\text{'}}={45}^0.$

Tam giác AA'B vuông cân tại A nên $AA\text{'}=AB=a\sqrt{2}.$

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng $V=AA\text{'}.S_{ABC}=a\sqrt{2}.a^2=a^3\sqrt{2}.$