Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB=AC=BB'=a, góc BAC=120 độ

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

Do tam giác ABC là hình chiếu của tam giác AB'I trên mặt phẳng (ABC) nên ta có

$$\begin{gathered} S_{ABC}=S_{AB\text{'}I}.\cos \alpha \\ {S}_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin {120}^0=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. \\ AB{\text{'}}^2=AA{\text{'}}^2+A\text{'}B{\text{'}}^2=2a^2. \\ A{I}^2=A{C}^2+C{I}^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4} \\ C\text{'}B{\text{'}}^2=C\text{'}A{\text{'}}^2+A\text{'}B{\text{'}}^2-2.A\text{'}B\text{'}.A\text{'}C\text{'}.\cos {120}^0=3a^2. \\ B\text{'}{I}^2=B\text{'}C{\text{'}}^2+C\text{'}{I}^2=3a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{13a^2}{4}. \end{gathered}$$

Có $AB{\text{'}}^2+A{I}^2=B\text{'}{I}^2\Rightarrow \Delta AB\text{'}I$ vuông tại A

$S_{AB\text{'}I}=\frac{1}{2}.AB\text{'}.AI=\frac{a^2\sqrt{10}}{4}.$ Do đó $\cos \alpha =\frac{S_{ABC}}{S_{AB\text{'}I}}=\frac{\sqrt{30}}{10}.$