Cho hàm số y=x^3 +(m-1)x^2 -3mx+2m+1 có đồ thị (Cm) , biết rằng đồ thị

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Hàm số được viết lại thành $\left(x^2-3x+2\right)m+x^3-x^2+1-y=0.$

Một điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cố định của đồ thị hàm số thì phương trình $\left(x_0^2-3x_0^{}+2\right)m+x_0^3-x_0^2+1-y_0=0$ phải nghiệm đúng với mọi m xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{x}_0^2-3x_0+2=0\\ x_0^3-x_0^2+1-y_0=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_0=1;y_0=1\\ x_0=2;y_0=5\end{array}\right..$

Giả sử $A\left(1;1\right),B\left(2;5\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(1;4\right)$ khi đó hệ số góc của đường thẳng AB là k=4

Đặt $f\left(x\right)=x^3+\left(m-1\right)x^2-3mx+2m+1$

Để trên đồ thị hàm số có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng AB thì hệ số góc tại tiếp điểm phải bằng $k\text{'}=-\frac{1}{4}.$ Điều đó xảy ra khi và chỉ khi $f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{4}$ có nghiệm.

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2\left(m-1\right)x-3m.$

Phương trình $f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{4}\iff 3x^2+2\left(m-1\right)x-3m=-\frac{1}{4}\left(1\right).$

Phương trình (1) có nghiệm khi $\Delta \text{'}\ge 0\iff m\in \left(-\infty ;\frac{-7-4\sqrt{3}}{2}\right]\cup \left[\frac{-7+4\sqrt{3}}{2};+\infty \right).$

Với $\frac{-7+4\sqrt{3}}{2}\approx -0,03$ nên các số nguyên dương $m\in \left[-2020;2020\right]$ là $\left\{1;2;3;...;2020\right\}.$

Vậy có 2020 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.