Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách 1: Ta có: $y\text{'}=3f\text{'}\left(3x-1\right)+3x^2-3m=3\left(f\text{'}\left(3x-1\right)+x^2-m\right)$

Để hàm số đồng biến trên (-2;1) thì:

$$\begin{gathered} y\text{'}\ge 0,\forall x\in \left(-2;1\right)\iff \left(f\text{'}\left(3x-1\right)+x^2-m\right)\ge 0,\forall x\in \left(-2;1\right) \\ f\text{'}\left(3x-1\right)+x^2\ge m,\forall x\in \left(-2;1\right)\iff m\le \underset{\left(-2;1\right)}{min}\left(f\text{'}\left(3x-1\right)+x^2\right) \end{gathered}$$

Đặt $f\text{'}\left(3x-1\right)=g\left(x\right)$ và $x^2=h\left(x\right)$

Quan sát bảng biến thiên ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(3x-1\right)\ge -4=f\text{'}\left(0\right),3x-1\in \left(-7;2\right)\\ h\left(x\right)=x^2\ge 0=h\left(0\right),\forall x\in \left(-2;1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(3x-1\right)\ge -4=f\text{'}\left(0\right),\forall x\in \left(-2;1\right)\\ h\left(x\right)=x^2\ge 0=h\left(0\right),\forall x\in \left(-2;1\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow f\text{'}\left(3x-1\right)+h\left(x\right)\ge -4+0=-4,x=0 \\ \Rightarrow \underset{\left(-2;1\right)}{min}\left[g\left(x\right)+h\left(x\right)\right]=-4,x=0 \end{gathered}$$

Do đó: $\underset{\left(-2;1\right)}{\min }\left(f\text{'}\left(3x-1\right)+x^2\right)=-4$

Vì $m\in \left(-10;10\right)$ và $m\le -4$ nên tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là -39

Cách 2:

Xét hàm số $y=f\left(3x-1\right)+x^3-3mx$

Ta có: $y\text{'}=3f\text{'}\left(3x-1\right)+3x^2-3m=3\left[f\text{'}\left(3x-1\right)+x^2-m\right]$

Để hàm số đồng biến trên (-2;1) thì:

$y\text{'}\ge 0,\forall x\in \left(-2;1\right)\iff f\text{'}\left(3x-1\right)\ge -x^2+m,\forall x\in \left(-2;1\right)$

Đặt $g\left(x\right)=f\text{'}\left(3x-1\right)\ge -x^2+m=h\left(x\right),\forall x\in \left(-2;1\right)$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}3x-1=t\\ x=\frac{t+1}{3}\\ t\in \left(-7;2\right)\end{array}\right.\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)\ge h\left(t\right)=-\frac{t^2+2t+1}{9}+m,\forall t\in \left(-7;2\right)\left(*\right)$

Ta có đồ thị hàm số $h\left(t\right)=-\frac{t^2+2t+1}{9}+m$ có đỉnh I(-1;m)

Vậy (*) thỏa mãn khi đồ thị $h\left(t\right)=-\frac{t^2+2t+1}{9}+m$ nằm dưới đồ thị y=f'(t)

Suy ra: $m\le -4.$

Với giả thiết $m\in \left(-10;10\right),m\in Z\Rightarrow m\in \left[-9;-4\right]\Rightarrow \sum _{m=-9}^{-4}m=-39.$