Cho hai số thực a,b thỏa mãn 1>a lớn hơn bằng b >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

$$\begin{gathered} T={\log }_a^{2}b+{\log }_{ab}{a}^{36} \\ ={\log }_a^{2}b+36.\frac{1}{{\log }_{a}ab} \\ ={\log }_a^{2}b+\frac{36}{1+{\log }_{a}b} \end{gathered}$$

Đặt $t={\log }_{a}b$

Vì $0<b\le a<1$ nên ${\log }_{a}b\ge {\log }_{a}a\Rightarrow t\ge 1.$

Xét hàm $f\left(t\right)=t^2+\frac{36}{1+t}$ trên $\left[1;+\infty \right)$

$f\text{'}\left(t\right)=2t-\frac{36}{{\left(t+1\right)}^2},f\text{'}\left(t\right)=0\iff t=2$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có $T_{\min }=16$

Dấu “=” xảy ra $\iff t=2\iff b=a^2.$