Tìm m để phương trình x^6 +6x^4 -m^2x^3 +(15-3m^2)x^2 -6mx+10=0

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{gathered} \left(x^6+6x^4+12x^2+8\right)-\left(m^3{x}^3+2m^2{x}^2+3mx+1\right)+\left(3x^2-3mx+3\right)=0 \\ \iff {\left(x^2+2\right)}^3-{\left(mx+1\right)}^3+3\left(x^2-mx+1\right)=0 \\ \iff \left(x^2-mx+1\right)\left[{\left(x^2+2\right)}^2+\left(x^2+2\right)\left(mx+1\right)+{\left(mx+1\right)}^2+3\right]=0 \\ \iff x^2-mx+1=0 \left(Vì a^2+ab+b^2={\left(a+\frac{1}{2}b\right)}^2+\frac{3}{4}{b}^2\ge 0,\forall a,b).\right) \end{gathered}$$

$\iff x+\frac{1}{x}=m$ (Do x=0 không thỏa mãn phương trình này).

Xét hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2};2\right].$ Ta có

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\notin \left(\frac{1}{2};2\right)\\ x=1\in \left(\frac{1}{2};2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên trên suy ra để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn $\left[\frac{1}{2};2\right]$ thì $2<m\le \frac{5}{2}.$

Vậy tất cả các giá trị cần tìm của m là $2<m\le \frac{5}{2}.$