Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Tập xác định D=R

$y\text{'}=3x^2-6\left(2m+1\right)x+12m+5$

Hàm số đồng biến trong khoảng $\left(2;+\infty \right)$ khi $y\text{'}\ge 0,\forall x\in \left(2;+\infty \right).$

$$\begin{gathered} \iff 3x^2-6\left(2m+1\right)x+12m+5\ge 0\forall x\in \left(2;+\infty \right). \\ 3x^2-6\left(2m+1\right)x+12m+5\ge 0\iff m\le \frac{3x^2-6x+5}{12\left(x-1\right)},\forall x\in \left(2;+\infty \right) \end{gathered}$$

Xét hàm số $g\left(x\right)=\frac{3x^2-6x+5}{12\left(x-1\right)},\forall x\in \left(2;+\infty \right).$

$g\text{'}\left(x\right)=\frac{3x^2-6x+1}{12{\left(x-1\right)}^2}>0,\forall x\in \left(2;+\infty \right)\Rightarrow$Hàm số g(x) đồng biến trong khoảng $\left(2;+\infty \right).$

Do đó: $m\le g\left(x\right),\forall x\in \left(2;+\infty \right)\Rightarrow m\le g\left(2\right)\iff m\le \frac{5}{12}.$

Vì $0<m\le \frac{5}{12}.$ Do đó không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn bài toán.