Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc m (m>0) cắt đồ thị

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Cách 1:

Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua A(2;0) là y=mx-2m

Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:

$-x^3+6x^2-9x+2=m\left(x-1\right)\iff \left(x-2\right)\left(x^2-4x+m+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x^2-4x+m+1=0\left(1\right)\end{array}\right.$

$x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow A\left(2;0\right).$ Do đó: (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt

$\iff$ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ khác $2\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}=3-m>0\\ 2^2-4.2+m+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-m>-3\\ m-3\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ m\ne 3\end{array}\right.\iff m<3$

Theo định lí Vi-et: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1{x}_2=m+1\end{array}\right.,$ mà $m>0\Rightarrow m+1>0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1>0\\ x_2>0\end{array}\right.$

Giả sử $B\left(x_1;m{x}_1-2m\right)$ và $C\left(x_2;m{x}_2-2m\right)\Rightarrow B\text{'}\left(0;m{x}_1-2m\right)$ và $C\text{'}\left(0;m{x}_2-2m\right).$

$\Rightarrow B\text{'}C\text{'}=\left|m\left(x_1-x_2\right)\right|=m\left|x_1-x_2\right|;BB\text{'}=\left|x_1\right|=x_1;CC\text{'}=\left|x_2\right|=x_2$

Ta có:

$$\begin{gathered} S_{BB\text{'}C\text{'}C}=\frac{1}{2}B\text{'}C\text{'}\left(BB\text{'}+CC\text{'}\right)=8 \\ \iff B\text{'}C\text{'}\left(BB\text{'}+CC\text{'}\right)=16\iff m\left|x_1-x_2\right|\left(x_1+x_2\right)=16 \\ \iff m\left|x_1-x_2\right|=4\iff m^2{\left(x_1-x_2\right)}^2=16\iff m^2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2\right]=16 \\ \iff m^2\left(16-4m-4\right)=16 \end{gathered}$$

$\iff m^3-3m^2+4=0\iff \left(m+1\right){\left(m-2\right)}^2=0\iff m=-1$ hoặc m=2

Vì $0<m<3\Rightarrow m=2\Rightarrow m\in \left(1;5\right).$

Cách 2:

Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua A(2;0) và y=m(x-2)

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=-x^3+6x^2-9x+2\left(C\right)$

TXĐ: D=R

$\Rightarrow$ Đồ thị (C) nhận điểm A(0;2) làm điểm uốn.

$\Rightarrow$B và C đối xứng nhau qua A;B' và C' đối xứng nhau qua O

$\Rightarrow OA$ là đường trung bình của hình thang $BB\text{'}C\text{'}C\Rightarrow \frac{BB\text{'}+CC\text{'}}{2}=OA=2$

Diện tích của hình thang BB'C'C bằng $8\Rightarrow B\text{'}C\text{'}=4$

Không mất tính tổng quát, giả sử $y_B>0\Rightarrow y_B=2\Rightarrow -{x_B}^3+6x_B^2-9x_B+2=2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_B=0\\ x_B=3\end{array}\right.$

+ $x_B=0\Rightarrow B\left(0;2\right)\Rightarrow \left(d\right)$ có phương trình $y=-x+2\Rightarrow m=-1<0$ (loại).

+ $x_B=3\Rightarrow B\left(3;2\right)\Rightarrow \left(d\right)$ có phương trình $y=2x-4\Rightarrow m=2$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị của m thuộc khoảng (1;5)