Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (P) với $SA,SD\Rightarrow MN//AD;$ kẻ $AH\perp BM$ tại H

$AD\perp SA;AD\perp AB\Rightarrow AD\perp \left(SAB\right)\Rightarrow MN\perp \left(SAB\right)\Rightarrow MN\perp MB$ và $MN\perp AH$

* $MN\perp MB\Rightarrow$ Thiết diện là hình thang vuông BMNC có diện tích là $\frac{MB}{2}.\left(MN+BC\right)$

* $AH\perp MN,AH\perp BM,MN//AD\Rightarrow AH$ là khoảng cách từ AD đến $\left(P\right)\Rightarrow AH=h$

Đặt $AM=x\left(0<x<3a\right)\Rightarrow SM=3a-x.$ Ta có: $\frac{MN}{AD}=\frac{SM}{SA}$ (do $MN//AD).$

$\Rightarrow \frac{MN}{a}=\frac{3a-x}{3a}\Rightarrow MN=\frac{3a-x}{3},$ mà $MB=\sqrt{A{B}^2+A{M}^2}=\sqrt{a^2+x^2}$

Diện tích thiết diện là $\frac{2\sqrt{5}{a}^2}{3}\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{2}.\left(\frac{3a-x}{3}+a\right)=\frac{2\sqrt{5}{a}^2}{3}$

$$\begin{gathered} \iff \sqrt{a^2+x^2}.\left(6a-x\right)=4\sqrt{5}{a}^2\iff \left(a^2+x^2\right)\left(36a^2-12ax+x^2\right)=80a^4 \\ \iff 36a^4-12a^{3}x+a^2{x}^2+36a^2{x}^2-12a{x}^3+x^4-80a^4=0 \\ \iff x^4-12x^{3}x+37x^2{a}^2-12a{x}^3-44a^4=0\Rightarrow x=2a \\ \Rightarrow MB=a\sqrt{5}\Rightarrow h=AH=\frac{AM.AB}{MB}=\frac{2a.a}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}a}{5} \end{gathered}$$

Vậy khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (P) là $\frac{2\sqrt{5}a}{5}.$