Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d: y=x+m-1 cắt

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có PTHĐGĐ của đường thẳng (d) và đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$

$$\begin{gathered} \frac{2x+1}{x+1}=x+m-1,\left(x\ne -1\right) \\ \iff 2x+1=\left(x+m-1\right)\left(x+1\right) \\ \iff x^2+\left(m-2\right)x+m-2=0\left(2\right) \end{gathered}$$

Phương trình $\frac{2x+1}{x+1}=x+m-1$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2\ne -1.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ 1-m+2+m-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-2\right)}^2-4\left(m-2\right)>0\\ 1\ne 0\end{array}\right.\iff m^2-8m+12>0\iff \left[\begin{array}{l}m<2\\ m>6\end{array}\right.$

Gọi $M\left(x_1;x_1+m-1\right),N\left(x_2;x_2+m-1\right)$ là giao điểm của hai đồ thị.

Ta có

$$\begin{gathered} MN=2\sqrt{3}\iff M{N}^2=12\iff {\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(x_2-x_1\right)}^2=12 \\ \iff x_2^2-x_1^2-2x_1{x}_2=6\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2-6=0 \\ \iff {\left(m-2\right)}^2-4\left(m-2\right)-6=0\iff m^2-8m+6=0 \\ \iff {\left(m-2\right)}^2-4\left(m-2\right)-6=0\iff m^2-8m+6=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=4+\sqrt{10}\\ m=4-\sqrt{10}\end{array}\right. \end{gathered}$$

So với điều kiện có hai nghiệm phân biệt, ta nhận cả hai giá trị $m=4\pm \sqrt{10}.$