Cho hàm số y=x^3 +3x^2 +1 có đồ thị (C) và điểm A(1;m). Gọi S là tập

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đường thẳng d đi qua điểm A(1;m) hệ số góc k có phương trình là $y=k\left(x-1\right)+m.$

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+3x^2+1=k\left(x-1\right)+m\left(1\right)\\ 3x^2+6x=k\left(2\right)\end{array}\right.$ có nghiệm x

Thay (2) vào (1) ta có phương trình $x^3+3x^2+1=\left(3x^2+6x\right)\left(x-1\right)+m\iff 2x^3-6x-1=-m\left(3\right).$

Qua điểm A(1;m) kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị $\left(C\right)\iff$ phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt $\iff$ hai đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=2x^3-6x-1$ và y=-m cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=2x^3-6x-1$ như sau

Từ bảng biến thiên của hàm số y=f(x) suy ra $-5<-m<3\iff -3<m<5\stackrel{m\in Z}{\to }m\in \left\{-2;-1;0;1;2;3;4\right\}.$ Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.