Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB=AC=a góc BAC =120 độ

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có $\Delta A\text{'}MC\text{'}$ vuông tại M có

$$\begin{gathered} \widehat{A\text{'}C\text{'}M}={30}^0\Rightarrow A\text{'}M=\frac{1}{2}.A\text{'}C\text{'}=\frac{2}{2} \\ MC\text{'}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow B\text{'}C\text{'}=a\sqrt{3}. \end{gathered}$$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và mặt phẳng $\left(ABC\right)\Rightarrow \alpha =\left(\widehat{\left(AMN\right);\left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}\right)}\right)$

Tam giác A'MC' là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng (A'B'C') nên $\cos \alpha =\frac{S_{A\text{'}MC\text{'}}}{S_{AMN}}$

Ta có

$$\begin{gathered} S_{A\text{'}MC\text{'}}=\frac{1}{2}.S_{ABC}=\frac{1}{4}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{8}. \\ A{N}^2=A{C}^2+C{N}^2=a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{5a^2}{4}\Rightarrow AN=\frac{a\sqrt{5}}{2}. \\ A{M}^2=AA{\text{'}}^2+A\text{'}{M}^2=AA{\text{'}}^2+{\left(\frac{A\text{'}C\text{'}}{2}\right)}^2=\frac{5a^2}{4}\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{5}}{2} \\ M{N}^2=C\text{'}{N}^2+C\text{'}{M}^2=\frac{a^2}{4}+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=a^2\Rightarrow MN=a. \end{gathered}$$

Gọi I là trung điểm của $MN\Rightarrow AI\perp MN$

$AI=\sqrt{A{N}^2-I{N}^2}=a$

$S_{AMN}=\frac{1}{2}.AI.MN=\frac{a^2}{2}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{4}$

Vậy số đo góc giữa mặt phẳng (AMN) và mặt phẳng (ABC) bằng $\arccos \frac{\sqrt{3}}{4}.$