Tìm các giá trị của tham số m để phương trình log^2 3 x -(m+2)log 3 x +3m-1=0

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Điều kiện: x>0

Đặt ${\log }_{3}x=t\Rightarrow x=3^t$

Khi đó ta có phương trình: $t^2-\left(m+2\right)t+3m-1=0\left(*\right)$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\iff$ phương trình (*) có hai nghiệm t phân biệt

$$\begin{gathered} \iff \Delta >0\iff {\left(m+2\right)}^2-4\left(3m-1\right)>0 \\ \iff m^2+4m+4-12m+4>0\iff m^2-8m+8>0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m>4+2\sqrt{2}\\ m<4-2\sqrt{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với $\left[\begin{array}{l}m>4+2\sqrt{2}\\ m<4-2\sqrt{2}\end{array}\right.$ có hai nghiệm phân biệt $t_1;t_2$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1;x_2$ với $x_1=3^{t_2},x_2=3^{t_1}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình (*) ta có: $\left\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=m+2\\ t_1{t}_2=3m-1\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có $x_1{x}_2=27\iff 3^{t_1}.3^{t_2}=3^{t_1+t_2}=27\iff t_1+t_2=3\iff m+2=3\iff m=1\left(tm\right).$