Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy N,M là trung điểm của AB và AC

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi P là trung điểm của $AN\Rightarrow MP//CN,MP\subset \left(DMP\right)\Rightarrow CN//\left(DMP\right)$

$\Rightarrow d\left(CN,DM\right)=d\left(CN,\left(DMP\right)\right)=d\left(N,\left(DMP\right)\right)=d\left(A,\left(DMP\right)\right).$

Ta có ABCD là tứ diện đều cạnh $a\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$

Ta có $\frac{V_{A.DMP}}{V_{A.DBC}}=\frac{AP}{AB}.\frac{AM}{AC}=\frac{1}{8}\Rightarrow V_{A.DMP}=\frac{1}{8}{V}_{A.DBC}=\frac{a^3\sqrt{2}}{96}.$

Tam giác ACD đều cạnh a, có M là trung điểm của $AC\Rightarrow DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Tam giác ABC đều cạnh a, có n là trung điểm của $AB\Rightarrow CN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MP=\frac{1}{2}CN=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Tam giác ADP, có $AP=\frac{a}{4},AD=a,\widehat{PAD}={60}^0.$

$\Rightarrow DP=\sqrt{A{D}^2+A{P}^2-2.AD.AP.\cos \widehat{PAD}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}.$

Đặt $p=\frac{DM+DP+MP}{2}=\frac{a\left(\sqrt{13}+3\sqrt{3}\right)}{8}.$

$\Rightarrow S_{\Delta DMP}=\sqrt{p\left(p-DM\right)\left(p-DP\right)\left(p-MP\right)}=\frac{a^2\sqrt{35}}{32}$

Lại có $V_{A.DMP}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta DMP}.d\left(A,\left(DMP\right)\right)\Rightarrow d\left(A,\left(DMP\right)\right)=\frac{3V_{A.DMP}}{V_{\Delta DMP}}=\frac{3.\frac{a^3\sqrt{2}}{96}}{\frac{a^2\sqrt{35}}{32}}=\frac{a\sqrt{70}}{35}.$

Vậy $d\left(CN,DM\right)=\frac{a\sqrt{70}}{35}.$