Một mặt cầu tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi D là trung điểm của đoạn AB kẻ $OI\perp SD,$ dễ dàng chứng minh được $OI\perp \left(SAB\right).$

Suy ra I là tâm đường tròn (C) giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt phẳng (SAB). Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đường tròn (C) với SB,SA; K là trung điểm của MB

Giả sử AB=a theo giả thiết ta suy ra $OC=1\iff \frac{a\sqrt{3}}{2}=1\iff a=\sqrt{3}.$

Ta có $SD=CD=\frac{3}{2},OD=\frac{1}{2},SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{2},OI=\frac{SO.OD}{SD}=\frac{\sqrt{2}}{3},$

$ID=\frac{O{D}^2}{SD}=\frac{1}{6},SI=\frac{4}{3}.$

Gọi r là bán kính đường tròn (C) khi đó $r=\sqrt{1-O{I}^2}=\frac{\sqrt{7}}{3}.$

Ta có tam giác SIK vuông tại K và góc $\angle ISK={30}^0$ suy ra $IK=\frac{1}{2}IS=\frac{2}{3}$

Xét tam giác MIK có $\cos I=\frac{IK}{IM}=\frac{2}{\sqrt{7}}\Rightarrow I\approx {28}^0\Rightarrow \angle MIN\approx {64}^0$

Khi đó chiều dài cung MN bằng $\frac{64}{180}.\frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{16\sqrt{7}}{135}.$ Vậy tổng độ dài l, các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là $l=\frac{16\sqrt{7}}{45}\approx 0,94.$