Cho một hình trụ thay đổi nội tiếp trong một hình nón cố định cho trước (tham khảo hình vẽ bên). Gọi thể tích các khối nón

* Hướng dẫn giải

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Gọi h,r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

Đặt  $IO=MQ=NP=x$ $(0<x<h)$.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{MQ}{SO}=\frac{AQ}{AS}=1-\frac{SQ}{SA}=1-\frac{QI}{OA}$$\Rightarrow \frac{x}{h}=1-\frac{IQ}{r}\Rightarrow IQ=(1-\frac{x}{h})r$

Khi đó thể tích khối nón là $V^{\text{'}}=\pi .I{Q}^2.QM=\pi .r^2{(1-\frac{x}{h})}^2.x=\frac{\pi r^2}{h^2}.x{(x-h)}^2$.

Để V đạt giá trị lớn nhất thì $x{(x-h)}^2$ phải đạt giá trị lớn nhất.

Đặt $f\left(x\right)=x{(x-h)}^2=x(x^2-2hx+h^2)=x^3-2h{x}^2+h^{2}x$ , với \[0 < x < h\] ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-4hx+h^2=0\iff [\begin{array}{l}x=h\left(ktm\right)\\ x=\frac{1}{3}h\left(tm\right)\end{array}$

$\Rightarrow {V^{\text{'}}}_{\max }=\frac{\pi r^2}{h^2}.\frac{1}{3}h{(\frac{1}{3}h-h)}^2=\frac{4}{27}\pi r^{2}h$

Vậy khi đó $\frac{V^{\text{'}}}{V}=\frac{\frac{4}{27}\pi r^{2}h}{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}=\frac{4}{9}$.

Đáp án A.