Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A’C chia hình lập phương trình

* Hướng dẫn giải

Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A’C.

Gọi $O^{\text{'}}=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\cap B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ và $I=A{O}^{\text{'}}\cap A^{\text{'}}C$.

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên $AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=a\sqrt{2};A^{\text{'}}C=a\sqrt{3}$.

Áp dụng định lí Pytago ta có: $A{O}^{\text{'}}=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A^{\text{'}}{O^{\text{'}}}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AI}{I{O}^{\text{'}}}=\frac{AC}{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}=2\Rightarrow AI=2I{O}^{\text{'}}=\frac{2}{3}A{O}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

$\frac{A^{\text{'}}I}{IC}=\frac{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow A^{\text{'}}I=\frac{1}{2}IC=\frac{1}{3}{A}^{\text{'}}C=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Xét tam giác AA’I có: $A{I}^2+A^{\text{'}}{I}^2=\frac{2a^2}{3}+\frac{a^2}{3}=a^2=A{A^{\text{'}}}^2$, suy ra tam giác AA’I vuông tại I (Định lí Pytago đảo) $\Rightarrow A{O}^{\text{'}}\subset \left(\alpha \right)\Rightarrow O^{\text{'}}\in \left(\alpha \right)$.

Lại có $\{\begin{array}{l}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\perp A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\\ B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\perp A{A}^{\text{'}}\end{array}\Rightarrow B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\perp \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\perp A^{\text{'}}C$$\Rightarrow B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\subset \left(\alpha \right)$

$\Rightarrow \left(\alpha \right)\equiv \left(A{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$.

Mặt phẳng $\left(A{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$chia khối lập phương thành 2 phần: Chóp A.A’B’D’ và khối đa diện B’C’D’.ABCD.

Ta có: $V_{A.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}A{A}^{\text{'}}.S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}A{A}^{\text{'}}.\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{6}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$

$\Rightarrow V_{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}.ABCD}=V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}-\frac{1}{6}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{5}{6}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$.

Vậy $k=\frac{V_{A.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}{V_{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}.ABCD}}=\frac{\frac{1}{6}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}{\frac{5}{6}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}=\frac{1}{5}$

Đáp án C.