Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của một đa giác lồi (H) có 30 đỉnh. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác

* Hướng dẫn giải

Không gian mẫu: $n\left(\Omega \right)=C_{30}^4$.

Gọi A là biến cố: “4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của (H)”.

Chọn 1 đỉnh bất kì trong 30 đỉnh là 1 đỉnh của tứ giác, kí hiệu là $A_1$, có 30 cách chọn.

Kí hiệu các đỉnh còn lại theo chiều kim đồng hồ lần lượt là $A_2,A_3,A_4,\mathrm{...,}{A}_{30}$.

Khi đó tứ giác có dạng $A_1{A}_x{A}_y{A}_z$, khi đó ta có $\{\begin{array}{l}x>1+1=2\\ y>x+1\\ 30>z>y+1>x+2\end{array}$$\Rightarrow 3\le x<y-1<z-2\le 27$.

Đặt $X=\{3;4;5;\mathrm{...};27\}$, X có 25 phần tử, số cách chọn 1 bộ x, y, z là $C_{25}^3$.

$\Rightarrow n\left(A\right)=30.C_{25}^3$.

Vậy xác suất của biến cố A là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{30.C_{25}^3}{C_{30}^4}$.

Đáp án D.