Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh bằng a không đổi. Độ dài CD thay đổi. Tính giá trị lớn nhất

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.

Vì tam giác ABC, ABD là các tam giác đều cạnh a nên AB = AC = AD = BC = BD = a.

$\Rightarrow \Delta BCD,\Delta ACD$ là các tam giác cân tại A $\Rightarrow \{\begin{array}{l}CD\perp AM\\ CD\perp BM\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(ABM\right)$$\Rightarrow CD\perp MN$.

Lại có $\Delta BCD=\Delta ACD(c.c.c)\Rightarrow AM=BM$$\Rightarrow \Delta ABM$ cân tại M $\Rightarrow MN\perp AB$.

$\Rightarrow d(AB;CD)=MN$.

Đặt CD = x $(x>0)$ ta có $AM=BM=\sqrt{\frac{a^2+a^2}{2}-\frac{x^2}{4}}=\frac{\sqrt{4a^2-x^2}}{2}$.

$\Rightarrow MN=\sqrt{\frac{\frac{4a^2-x^2}{4}+\frac{4a^2-x^2}{4}}{2}-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}$

Do đó ta có

$V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB.CD.d(AB;CD).sin\angle (AB;CD)$

$=\frac{1}{6}a.x.\frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}.sin\angle (AB;CD)$

Để $V_{ABCD}$ đạt giá trị lớn nhất thì $\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=x.\frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}datGTLN\\ sin\angle (AB;CD)=1\end{array}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có $f\left(x\right)=x.\frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}\le \frac{1}{2}.\frac{x^2+3a^2-x^2}{2}=\frac{3a^2}{4}$.

Dấu “=” xảy ra $\iff x=\frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}\iff 4x^2=3a^2-x^2\iff x=\frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Vậy $\max V_{ABCD}=\frac{1}{6}a.\frac{3a^2}{4}=\frac{a^3}{8}$.

Đáp án A.