Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng

* Hướng dẫn giải

Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:

$\{\begin{array}{l}AB\perp BD\\ AB\perp BH\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(BDH\right)\Rightarrow AB\perp DH$

$\{\begin{array}{l}AC\perp CH\\ AC\perp CD\end{array}\Rightarrow AC\perp \left(CDH\right)\Rightarrow AC\perp DH$

$\Rightarrow DH\perp \left(ABCD\right)$

⇒ AH là hình chiếu của AD lên (ABC) $\Rightarrow \angle (AD;\left(ABC\right))=\angle (AD;AH)=\angle DAH={45}^0$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}BC\perp DH(DH\perp \left(ABCD\right))\\ BC\perp AD\left(gt\right)\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(ADH\right)\Rightarrow BC\perp AH$.

$\Rightarrow ABHC$ là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).

Gọi $O=AH\cap BC$, trong (ADH) kẻ $OK\perp AD(K\in AD)$ ta có:

$\{\begin{array}{l}OK\perp AD\\ OK\perp BC(BC\perp \left(ADH\right))\end{array}\Rightarrow d(AD;BC)=OK=a$.

Xét tam giác OKA vuông tại K có $\angle OAK={45}^0$ nên tam giác OAK vuông cân tại K \[ \Rightarrow OA = OK\sqrt 2 = a\sqrt 2 \].

$\Rightarrow AH=2OA=2\sqrt{2}a$.

Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên $HD=AH=2\sqrt{2}a$.

Ta có: $S_{ABHC}=\frac{1}{2}A{H}^2=\frac{1}{2}\left(2\sqrt{2}{a}^2\right)=4a^2$$\Rightarrow S_{ABC}=2a^2$.

Vậy $V_{ABCD}=\frac{1}{3}HD.S_{ABC}=\frac{1}{3}.2\sqrt{2}a.2a^2=\frac{4\sqrt{2}{a}^3}{3}$.

Đáp án D.