Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x)=(x+1)^2*(x-3). Tìm số điểm cực trị của hàm số

* Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff {(x+1)}^2(x-3)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\left(nghiemboi2\right)\\ x=3\left(nghiemdon\right)\end{array}$

Ta có:

$g\left(x\right)=f\left(\sqrt{x^2+2x+6}\right)$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+6}}{f}^{\text{'}}\left(\sqrt{x^2+2x+6}\right)$

$=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+6}}{f}^{\text{'}}\left(\sqrt{x^2+2x+6}\right)$

Cho $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x+1=0\\ f^{\text{'}}\left(\sqrt{x^2+2x+6}\right)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ \sqrt{x^2+2x+6}=3\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x^2+2x+6=9\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x^2+2x-3=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\\ x=-3\end{array}$ (đều là các nghiệm đơn)

(Ta không xét $\sqrt{x^2+2x+6}=-1$vì $f^{\text{'}}\left(x\right)$ không đổi dấu qua x=-1 nên nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2+2x+6}=-1$không làm cho $g^{\text{'}}\left(x\right)$ đổi dấu).

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Đáp án C.