Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a. Các cặp mặt phẳng (ACD) và (BCD), (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau.

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Vì tam giác ACD, BCD là các tam giác cân lần lượt tại A và B nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AN \bot CD}\\{BN \bot CD}\end{array}} \right.\].

Lại có $\{\begin{array}{l}\left(ACD\right)\perp \left(BCD\right)=CD\\ AN\subset \left(ACD\right),AN\perp CD\\ BN\subset \left(BCD\right),BN\perp CD\end{array}$$\Rightarrow \angle (\left(ACD\right);\left(BCD\right))=\angle (AN;BN)=\angle ANB={90}^0$.

Dễ thấy $\Delta ACD=\Delta BCD(c.c.c)\Rightarrow AN=BN$$\Rightarrow \Delta ABN$vuông cân tại N $\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB$.

Chứng minh tương tự ta có $\Delta MCD$ vuông cân tại M nên $MN=\frac{1}{2}CD$.

$\Rightarrow AB=CD$.

Ta có: $BN=\sqrt{2}MN,CN=\frac{1}{2}CD=MN$.

Xét tam giác vuông BCN có: $B{N}^2+C{N}^2=B{C}^2$

$\Rightarrow 2M{N}^2+M{N}^2=a^2\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $CD=2MN=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án A.