Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD=60 độ. Mặt chéo ACC’A’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

* Hướng dẫn giải

Gọi $O=AC\cap BD$⇒O là trung điểm của AC và BD.

Vì ACC’A’ là hình thoi nên AA’ = AC, lại có $\angle A^{\text{'}}AC={60}^0$ (gt) nên $\Delta A^{\text{'}}AC$ là tam giác đều $\Rightarrow A^{\text{'}}O\perp AC$

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AC}\\{A'O \subset \left( {ACC'A'} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A'O \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow A'O \bot \left( {ABCD} \right)\].

Xét tam giác ABC có: AB = AD (do ABCD là hình thoi), $\angle BAD={60}^0\left(gt\right)$ nên tam giác ABC đều cạnh a.

$\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$ và $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

$\Rightarrow \Delta A^{\text{'}}AC$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$$\Rightarrow A^{\text{'}}O=\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$.

Vậy \[{V_{ACB'D'}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}.A'O.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\].

Đáp án B.