Cho số phức z có phần thực là số nguyên và thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Gọi $z=a+bi$; $a,b\in ℝ;i^2=-1$; a là số nguyên. Theo đề ta có

$\left|z\right|-2\overline{z}=-7+3i+z$

$\iff \sqrt{a^2+b^2}-2a+2bi=-7+3i+a+bi$

$\iff (\sqrt{a^2+b^2}-2a)+2bi=(-7+a)+(3+b)i$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{a^2+b^2}-2a=-7+a\\ 2b=3+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{a^2+9}=3a-7\\ b=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a\ge \frac{7}{3}\\ 8a^2-42a+40=0\end{array}\right.\\ b=3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a\ge \frac{7}{3}\\ \left[\begin{array}{l}a=4\\ a=\frac{5}{4}\end{array}\right.\\ b=3\end{array}\right.$

Khi đó $z=4+3i$

Vậy $w=1-z+z^2=4+21i\Rightarrow \left|w\right|=\sqrt{457}$.