Cho phương trình 3^x(3^2x+1)-(3^x+m+2)

* Hướng dẫn giải

$3^x\left(3^{2x}+1\right)-\left(3^x+m+2\right)\sqrt{3^x+m+3}=2\sqrt{3^x+m+3}$
$\iff 3^x\left(3^{2x}+1\right)=\left(3^x+m+2\right)\sqrt{3^x+m+3}+2\sqrt{3^x+m+3}$
$\iff 3^{3x}+3^x=\left(3^x+m+3\right)\sqrt{3^x+m+3}+\sqrt{3^x+m+3}$

$\iff 3^{3x}+3^x={\left(\sqrt{3^x+m+3}\right)}^3+\sqrt{3^x+m+3}$

Xét hàm đặc trưng $f\left(t\right)=t^3+t$ có $f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+1>0,\forall t\in ℝ$.

Vậy $\iff 3^{3x}+3^x={\left(\sqrt{3^x+m+3}\right)}^3+\sqrt{3^x+m+3}\iff f\left(3^x\right)=f\left(\sqrt{3^x+m+3}\right)$

$\iff 3^x=\sqrt{3^x+m+3}\iff 3^{2x}-3^x-3=m$. (*)

Đặt $u=3^x$, với điều kiện $u>0$ và đặt $g\left(u\right)=u^2-u-3$

Phương trình (*) $\iff g\left(u\right)=m$.

$g^{\text{'}}\left(u\right)=2u-1$, $g^{\text{'}}\left(u\right)=0\iff u=\frac{1}{2}$ ta có bảng biến thiên của $g\left(u\right)$: