Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;1;3)

* Hướng dẫn giải

Ta có $d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2+m+3\left(2m+1\right)-m-2\right|}{\sqrt{1^2+m^2+{\left(2m+1\right)}^2}}=\frac{3\left|2m+1\right|}{\sqrt{1+m^2+{\left(2m+1\right)}^2}}$.

Vì $1+m^2\ge \frac{1}{5}{\left(2m+1\right)}^2$, $\forall m\in ℝ$ nên $d\left(A,\left(P\right)\right)\le \frac{3\left|2m+1\right|}{\sqrt{\frac{1}{5}{\left(2m+1\right)}^2+{\left(2m+1\right)}^2}}=\frac{\sqrt{30}}{2}$.

Suy ra, khoảng cách từ điểm A đến (P) là lớn nhất khi và chỉ khi $m=2$.

Khi đó: $\left(P\right):x+2y+5z-4=0$; $AH:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\\ z=3+5t\end{array}\right.$.

$H=d\cap \left(P\right)$$\Rightarrow$$2+t+2\left(1+2t\right)+5\left(3+5t\right)-4=0$

$\iff$$t=-\frac{1}{2}$$\Rightarrow$$H\left(\frac{3}{2};0;\frac{1}{2}\right)$

Vậy $a=\frac{3}{2}$, $b=0$$\Rightarrow$$a+b=\frac{3}{2}$.

Chọn đáp án C