Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b

Xét lăng trụ tam giác đều $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Gọi $E,E\text{'}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC,A\text{'}B\text{'}C\text{'}$, M là trung điểm BC và I là trung điểm $EE\text{'}$ . Do hình lăng trụ đều nên $EE\text{'}$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC,A\text{'}B\text{'}C\text{'}\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, IA là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
$AE=\frac{a\sqrt{3}}{3},IE=\frac{b}{2}\Rightarrow R=IA=\sqrt{A{E}^2+I{E}^2}=\sqrt{\frac{4a^2+3b^2}{12}}.$
Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\sqrt{\frac{4a^2+3b^2}{12}}\right)}^3=\frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{\left(4a^2+3b^2\right)}^3}.$

Chọn đáp án D