Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, BC=y, AB=AC=SB=SC=1

Gọi I,J lần lượt là trung điểm BC,SA

nên $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AI\\ BC\perp SI\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAI\right)\right.$

Hai tam giác cân ABC, SBC bằng nhau 

nên IA=IS suy ra $∆ISA$ cân tại I

Trong $∆SBI$ vuông tại I ta có

$SI=\sqrt{S{B}^2-B{I}^2}=\sqrt{1^2-\frac{y^2}{4}}$

Trong $∆SAI$ cân tại I ta có

$IJ=\sqrt{S{I}^2-S{J}^2}=\sqrt{1^2-\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}}$

Khi đó thể tích khối chóp S.ABC là

$V=\frac{1}{3}.BC.S_{SAI}=\frac{1}{6}.BC.SA.IJ=\frac{1}{6}xy\sqrt{1-\frac{y^2+x^4}{4}}$

Ta có $x^2+y^2\ge 2xy, \forall x,y\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow V\le \frac{1}{6}xy\sqrt{1-\frac{xy}{2}}$

$=\frac{1}{12}\sqrt{xy}.\sqrt{xy}.\sqrt{4-2xy}\le \frac{1}{12}{\left(\frac{xy+xy+4-2xy}{3}\right)}^{\frac{3}{2}}\le \frac{2\sqrt{3}}{27}$