Trong không gian Oxyz , cho hình nón có đỉnh I thuộc mặt phẳng

Dễ thấy $\left(P\right)\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(R\right)$, gọi O là tâm của đường tròn đáy hình nón, $O^{\text{'}}=IO\cap \left(Q\right)$, từ giả thiết ta có
$I{O}^{\text{'}}=d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{5}{3}$; $O{O}^{\text{'}}=d\left(A,\left(R\right)\right)=\frac{10}{3}$ suy ra $O{O}^{\text{'}}=2I{O}^{\text{'}}$.
Gọi M là điểm thuộc đường tròn (O), $M^{\text{'}}=IM\cap \left(Q\right)$, do $O^{\text{'}}{M}^{\text{'}}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}OM$ nên $\frac{I{O}^{\text{'}}}{IO}=\frac{O^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}{OM}=\frac{1}{3}$.
Do đó $r_2=3r_1$, (trong đó $r_1$ và $r_2$ lần lượt là bán kính của các đường tròn $\left(O^{\text{'}}\right)$ và $\left(O\right)$). Đặt $I{O}^{\text{'}}=h$, khi đó
$\frac{V_1}{V}=\frac{\frac{1}{3}\pi r_1^{2}h}{\frac{1}{3}\pi {\left(3r_1\right)}^2.3h}=\frac{1}{27}\Rightarrow V=27V_1\Rightarrow V_2=V-V_1=26V_1$.
$S=V_2+\frac{78}{V_1^3}=26V_1+\frac{78}{V_1^3}=\frac{26}{3}{V}_1+\frac{26}{3}{V}_1+\frac{26}{3}{V}_1+\frac{78}{V_1^3}\ge 4\sqrt[4]{\frac{26}{3}{V}_1.\frac{26}{3}{V}_1.\frac{26}{3}{V}_1.\frac{78}{V_1^3}}=4\sqrt[4]{\frac{456976}{9}}$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{26}{3}{V}_1=\frac{78}{V_1^3}\iff V_1=\sqrt{3}$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=26\sqrt{3}\end{array}\right.$.
Vậy $a^2+b^2=3+{26}^2.3=2031$

Chọn đáp án C