Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng đi qua , cắt và song song với mặt phẳng có phương trình là phương trình nào dưới đây?

* Cách 1: Gọi $B=d\cap \Delta \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}B\in d\\ B\in \Delta \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}B\left(3+t;3+3t;2t\right)\\ \overrightarrow{AB}=\left(2+t;1+3t;2t+1\right)\end{array}\right.$ là véc-tơ chỉ phương của $\Delta .$

Mặt phẳng $\left(P\right)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;1;-1\right).$

Vì $\Delta //\left(P\right)$ nên $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}.\overrightarrow{AB}=0\iff 2+t+1+3t-2t-1=0\iff 2t=-2\iff t=-1.$

Vậy đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left(1;2;-1\right)$ và nhận véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(1;-2;-1\right)$ có phương trình là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}.$

* Cách 2: Gọi $\left(\beta \right)$ là mặt phẳng qua $A\left(1;2;-1\right)$ và song song với $\left(\alpha \right)$ nên có phương trình $x+y-z-4=0.$

Gọi $\beta =d\cap \left(\beta \right).$ Khi đó, tọa độ $x,y,z$ của $B$ là nghiệm của hệ phương trình

      $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2}\\ x+y-z-4=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y=6\\ 2x-z=6\\ x+y-z-4=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\\ z=-2\end{array}\right..$

Suy ra $B\left(2;0;-2\right)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}.$

Chọn đáp án D.