Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của z1 - z2 là

Đặt $z_1=x_1+y_{1}i,\left(x_1,y_1\in ℝ\right);z_2=x_2+y_{2}i,\left(x_2,y_2\in ℝ\right)$.

Ta có $\left|z_1+5\right|=5\iff \left|\left(x_1+5\right)+y_{2}i\right|=5\iff {\left(x_1+5\right)}^2+y_2^2=25.$

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z_1$ là đường tròn $\left(C\right):{\left(x+5\right)}^2+y^2=25.$

Ta có $\left|z_2+1-3i\right|=\left|z_2-3-6i\right|\iff \left|\left(x_2+1\right)+\left(y_2-3\right)i\right|=\left|\left(x_2-3\right)+\left(y_2-6\right)i\right|$

$\iff {\left(x_2+1\right)}^2+{\left(y_2-3\right)}^2={\left(x_2-3\right)}^2+{\left(y_2-6\right)}^2\iff 8x_2+6y_2=35.$

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z_2$ là đường thẳng $\Delta :8x+6y=35.$

$\left(C\right)$ có tâm $I\left(-5;0\right)$, bán kính $R=5.$

Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ là $d\left(I,\left(\Delta \right)\right)=\frac{\left|8.\left(-5\right)+6.0-35\right|}{\sqrt{8^2+6^2}}=\frac{75}{10}=\frac{15}{2}>R.$

Suy ra $\Delta$ không cắt $\left(C\right)$. Do đó, nếu gọi  $d$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $\Delta ,d$ cắt $\left(C\right)$ và $\Delta$ lần lượt tại $M,N$ và $H$ thì một trong hai đoạn thẳng $HM,HN$ là khoảng cách ngắn nhất nối hai điểm bất kỳ thuộc $\left(C\right)$ và $\Delta$

Suy ra giá trị nhỏ nhất của $\left|z_1-z_2\right|$ là

${\left|z_1-z_2\right|}_{\min }=HM=d\left(I,\Delta \right)-R=\frac{15}{2}-5=\frac{5}{2}.$

Chọn đáp án A.