Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y=(cosx+1)/(10cosx+m) đồng biến trên khoảng

* Hướng dẫn giải

* Đặt \(t = \cos x\left( {0 < t < 1} \right) \Rightarrow y = \frac{{t + 1}}{{10t + m}} \Rightarrow y' = \frac{{m - 10}}{{\left( {10t + {m^2}} \right)}}t;\)

* Hàm số \(y = \frac{{\cos x + 1}}{{10\cos x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow y' = \frac{{m - 10}}{{{{\left( {10t + m} \right)}^2}}}t' >0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\) Vì trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) hàm số \(t = \cos x\) nghịch biến nên \(t' < 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

* Từ đó suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 10 < 0\\ - \frac{m}{{10}} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 10\\\left[ \begin{array}{l}m \le - 10\\m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 10\\0 \le m < 10\end{array} \right..\)

\(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1,2,...,9} \right\}.\)

Đáp án D.