Cho hàm số y=|2+căn(16-x^2)|+a có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là m,M, Biết m + M = a^2.Tìm tích P

* Hướng dẫn giải

Xét \(g\left( x \right) = x + \sqrt {16 - {x^2}} \)

TXĐ: \(D = \left[ { - 4;4} \right],g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn [-4;4]

Ta có: \(g'\left( x \right) = 1 - \frac{{2x}}{{2\sqrt {16 - {x^2}} }} = 1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {16 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\16 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} g\left( x \right) = 4\sqrt 2 ;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} g\left( x \right) = - 4\)

Từ đó ta được: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 4\sqrt 2 + a;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = a\)

Khi đó: \(m + M = {a^2} \Leftrightarrow 4\sqrt 2 + a + a = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 4\sqrt 2 = 0 \Rightarrow P = - 4\sqrt 2 \) nên chọn đáp án C.