Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình căn(2-x)+ căn(1+x)=căn(m+x+x^2) có hai nghiệm phân biệt.

* Hướng dẫn giải

\(\sqrt {2 - x} + \sqrt {1 + x} = \sqrt {m + x - {x^2}} \left( 1 \right)\)

Điều kiện: \( - 1 \le x \le 2.\)

Phương trình trở thành: \(2 - x + 1 + x + 2\sqrt {2 + x - {x^2}} = m + x - {x^2}.\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {2 + x - {x^2}} = \left( {2 + x - {x^2}} \right) + m - 5\)

Đặt \(t = \sqrt {2 + x - {x^2}} .\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2 + x - {x^2}\) trên \(\left[ { - 1;2} \right].\)

\(f'\left( x \right) = - 2x + 1.\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{9}{4}.\)

Bảng biến thiên:

Phương trình trở thành:

\(m = - {t^2} + 2t + 5\left( 2 \right)\) với \(t \in \left[ {0;\frac{3}{2}} \right].\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = - {t^2} + 2t + 5.\)

\(g'\left( t \right) = - 2t + 2.\)

\(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 6.\)

\(g\left( 0 \right) = 5;g\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{23}}{4}.\)

Bảng biến thiên:

Vậy để phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 2 \right)\) có 1 nghiệm \(t \in \left[ {0;\frac{3}{2}} \right).\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(m \in \left[ {5;\frac{{23}}{4}} \right) \cup \left\{ 6 \right\}.\)

Đáp án B