Cho hàm số (y = {x^3} + 3{x^2} + 1 ) có đồ thị ( left( C right) ) và điểm (A left( {1;m} right). ) Gọi (S ) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số (m ) để qua A có thể kể...

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;m} \right)\) hệ số góc \(k\) có phương trình là \(y = k\left( {x - 1} \right) + m.\)

Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 1 = k\left( {x - 1} \right) + m{\rm{ }}\left( 1 \right)\\3{x^2} + 6x = k{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm \(x.\)

Thay (2) vào (1) ta có phương trình \({x^3} + 3{x^2} + 1 = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {x - 1} \right) + m \Leftrightarrow 2{x^3} - 6x - 1 = - m\left( 3 \right).\)

Qua điểm \(A\left( {1;m} \right)\) kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 3 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x - 1\) và \(y = - m\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = 2{x^3} - 6x - 1\) như sau:

Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) suy ra $-5<-m<3\iff -3<m<5\stackrel{m\in Z}{\to }m\in \{-2;-1;0;1;2;3;4\}.$

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án C