Cho hình lăng trụ đứng (ABC.A'B'C' ) có (AB = AC = a, ) góc (BAC = {120^0},AA' = a. ) Gọi (M,N ) lần lượt là trung điểm của (B'C' ) và (CC'. ) Số đo góc giữa mặt phẳng ( left( {AMN...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\Delta A'MC'\) vuông tại \(M\) có \(\widehat {A'C'M} = {30^0} \Rightarrow A'M = \frac{1}{2}.A'C' = \frac{2}{2}\)

\(MC' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'C' = a\sqrt 3 .\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow \alpha = \left( {\widehat {\left( {AMN} \right);\left( {A'B'C'} \right)}} \right)\)

Tam giác \(A'MC'\) là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) nên \(\cos \alpha = \frac{{{S_{A'MC'}}}}{{{S_{AMN}}}}\)

Ta có \({S_{A'MC'}} = \frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{4}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{8}.\)

\(A{N^2} = A{C^2} + C{N^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)

$A{M}^2=AA{\text{'}}^2+A\text{'}{M}^2=AA{\text{'}}^2+{\left(\frac{A\text{'}C\text{'}}{2}\right)}^2=\frac{5a^2}{4}\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

\(M{N^2} = C'{N^2} + C'{M^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = {a^2} \Rightarrow MN = a.\)

Gọi \[I\] là trung điểm của \(MN \Rightarrow AI \bot MN\)

\(AI = \sqrt {A{N^2} - I{N^2}} = a\)

\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AI.MN = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)

Đáp án C