(VD): Cho hàm số [f left( x right) ] liên tục trên [ left( {0; + infty } right) ] và thỏa mãn với mọi [x >0 ]. Tính [ int limits_{ frac{1}{2}}^2 {f left( x right)dx} ].

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Thay \[x = \frac{1}{t}\], sau đó rút theo \[f\left( x \right)\]và thế vào giả thiết.

- Tìm \[f\left( x \right)\] theo x và tính \[\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx} \] bằng phương pháp tích phân 2 vế.

Giải chi tiết:

Ta có:  \[2f\left( x \right) + xf\left( {\frac{1}{x}} \right) = x\], với \[x = \frac{1}{t}\] ta có \[2f\left( {\frac{1}{t}} \right) + \frac{1}{t}f\left( t \right) = \frac{1}{t}\]\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{t}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{t}f\left( t \right)} \right)\]

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{x}f\left( x \right)} \right)\]

Khi đó ta có

\[2f\left( x \right) + \frac{1}{2}x\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{x}f\left( x \right)} \right) = x \Leftrightarrow 2f\left( x \right) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}f\left( x \right) = x\]

\[ \Leftrightarrow \frac{3}{2}f\left( x \right) = x - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)dx} \]

\[ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{4}\]

Đáp án D