(TH): Cho cấp số nhân [ left( {{u_n}} right) ] thỏa mãn [2 left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} right) = {u_6} + {u_7} + {u_8} ]. Tính [ frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} +...

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \[{u_n} = {u_k}{q^{n - k}}\]

Giải chi tiết:

Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:

\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}\]

\[ \Leftrightarrow 2\left( {{u_3} + {u_3}q + {u_3}{q^2}} \right) = {u_6} + {u_6}q + {u_6}{q^2}\]\[ \Leftrightarrow 2{u_3}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = {u_6}\left( {1 + q + {q^2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 2{u_3} = {u_6}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1 + q + {q^2} >0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = q} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 2{u_3} = {u_3}{q^3}\]$\iff u_3(2-q^3)=0$\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_3} = 0}\\{q = \sqrt[3]{2}}\end{array}} \right.\]

Ta có:

\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}}\]\[ = \frac{{{u_8} + {u_8}q + {u_8}{q^2}}}{{{u_2} + {u_2}q + {u_2}{q^2}}} = \frac{{{u_8}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}}{{{u_2}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \frac{{{u_2}{q^6}}}{{{u_2}}} = {q^6} = 4\]

Đáp án A