:Cho phương trình [{ log _9}{x^2} - { log _3} left( {5x - 1} right) = - { log _3}m ] (Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của [m ] để phương trình đã cho có nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} >0\\5x - 1 >0\\m >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x >\frac{1}{5}\\m >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >\frac{1}{5}\\m >0\end{array} \right.\)

Ta có:

\({\log _9}{x^2} - {\log _3}\left( {5x - 1} \right) = - {\log _3}m\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2.{\log _3}x + {\log _3}m = {\log _3}\left( {5x - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {mx} \right) = {\log _3}\left( {5x - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow mx = 5x - 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right)x + 1 = 0\)

Xét \(m = 5,\) phương trình vô nghiệm nên loại \(m = 5.\)

Xét \(m \ne 5,\) phương trình có nghiệm \(x = \frac{{ - 1}}{{m - 5}}.\)

Dựa vào điều kiện ta được \(\frac{{ - 1}}{{m - 5}} >\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{m - 5}} - \frac{1}{5} >0 \Leftrightarrow \frac{{ - m}}{{m - 5}} >0 \Leftrightarrow 0 < m < 5.\)

Khi đó \(m \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}.\)

Đáp án A