Với (n ) là số nguyên dương thỏa mãn (C_n^1 + C_n^2 = 55, ) số hạng không chứa (x ) trong khai triển của biểu thức ({ left( {{x^3} + frac{2}{{{x^2}}}} right)^n} ) bằng

* Hướng dẫn giải

*) Xét phương trình \(C_n^1 + C_n^2 = 55\)

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}n \in \mathbb{N}\\n \ge 2\end{array} \right..\)

\(C_n^1 + C_n^2 = 55 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} = 55\)

\( \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 55\)

\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 110 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 11\\n = 10\end{array} \right.\)

Với điều kiện \(n \ge 2\) ta chỉ chọn \(n = 10,\) khi đó \({\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n} = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}}\)

*) Số hạng tổng quát trong khai triền \({\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}}\) là: \(C_{10}^k{x^{3\left( {10 - k} \right)}}.\frac{{{2^k}}}{{{x^{2k}}}} = C_{10}^k{.2^k}.{x^{30 - 5k}}.\)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(30 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 6.\)

Số hạng cần tìm là \(C_{10}^6{2^6} = 13440.\)

Đáp án B