Cho hình lăng trụ đứng (ABC.A'B'C' ) có đáy là tam giác vuông cân tại (A ), (AB = AC = a ), (AA' = sqrt 2 a ). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện (AB'A'C ) là

* Hướng dẫn giải

Khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(AB'A'C\) là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(BAC.A'B'C'\)

Gọi \(D,E\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B'C';O\) là trung điểm của \(DE\)

\( \Rightarrow O\) là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(BAC.A'B'C'\) (do đáy là \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A)\)

Ta có: \(OD = \frac{{AA'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AD = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(R = OA = \sqrt {A{D^2} + O{D^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\)

Vậy thể tích khối cầu cần tính là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}.\)

Đáp án A